ЛитМир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

  где

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-134174563.png
 - средняя (гидростатическая) деформация, l и m = G – Ламе постоянные . Т. о., упругие свойства изотропного материала характеризуются двумя постоянными l и m или какими-нибудь выраженными через них двумя модулями упругости .

  Равенство (1) можно также представить в виде

 

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-173044036.png
,..., (2)

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-179175461.png
, …,
Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-161655955.png

  где

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-108399501.png
  среднее (гидростатическое) напряжение, К – модуль всестороннего сжатия.

  Для анизотропного материала 6 зависимостей между компонентами напряжений и деформаций имеют вид:

 

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-133331970.png
 (3)

 ...............................................................

  Из входящих сюда 36 коэффициентов cij называются модулями упругости, 21 между собой независимы и характеризуют упругие свойства анизотропного материала.

  Для нелинейного упругого изотропного материала в равенствах (2) всюду вместо m входит коэффициент

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-106610010.png
, а соотношение
Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-168405661.png
 заменяется равенством
Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-160189392.png
, где величина eu называется интенсивностью деформации, а функции Ф и f , универсальные для данного материала, определяются из опытов. Когда Ф (eu ) достигает некоторого критического значения, возникают пластические деформации. Законы пластичности при пропорциональном возрастании нагрузок или напряжений (простое нагружение) имеют тот же вид, но с др. значениями функций Ф и f (законы теории малых упруго-пластических деформаций), а при уменьшении напряжений (разгрузке) имеют место соотношения (1) или (2), в которых вместо sij и eij подставляются их приращения (разности двух текущих значений).

  Математическая задача У. т. при равновесии состоит в том, чтобы, зная действующие внешние силы (нагрузки) и т. н. граничные условия, определить значения в любой точке тела компоненты напряжений и деформаций, а также компоненты ux, uy, иz; вектора перемещения каждой частицы тела, т. е. определить эти 15 величин в виде функций от координат x , у, z точек тела. Исходными для решения этой задачи являются дифференциальные уравнения равновесия:

 

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-116706859.png
,

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-110225408.png
, (4)

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-104040065.png

  где r – плотность материала, XYZ – проекции на координатные оси действующей на каждую частицу тела массовой силы (например, силы тяжести), отнесённые к массе этой частицы.

  К трём уравнениям равновесия присоединяются 6 равенств (1) в случае изотропного тела и ещё 6 равенств вида:

 

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-115270119.png
, …,
Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-173706391.png
, …, (5)

  устанавливающих зависимости между компонентами деформаций и перемещений.

  Когда на часть S1 граничной поверхности тела действуют заданные поверхностные силы (например, силы контактного взаимодействия), проекции которых, отнесённые к единице площади, равны Fx, Fy, Fz, а для части S2 этой поверхности заданы перемещения её точек jх, jу, jz , граничные условия имеют вид:

 

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-147785250.png
 (на S1 ) (6)

 

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-197952020.png
,
Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-188871304.png
,
Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-142388943.png
 (на S2 ) (7)

  где l1, l2, l3 косинусы углов между нормалью к поверхности и координатными осями. Первые условия означают, что искомые напряжения должны удовлетворять на границе S1 трём равенствам (6), а вторые – что искомые перемещения должны удовлетворять на границе S2 равенствам (7); в частном случае может быть jx = jy = jz = 0 (часть поверхности S2 жестко закреплена). Например, в задаче о равновесии плотины массовая сила – сила тяжести, поверхность S2 подошвы плотины неподвижна, на остальной поверхности S1 действуют силы: напор воды, давление различных надстроек, транспортных средств и т.д.

  В общем случае поставленная задача представляет собой пространственную задачу У. т., решение которой трудно осуществимо. Точные аналитические решения имеются лишь для некоторых частных задач: об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конического тела и др. Т. к. уравнения У. т. являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип линейной суперпозиции). В частности, если для какого-нибудь тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в какой-либо произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения, называются Грина функциями , получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и некоторые др.). Предложен ряд аналитических методов решения пространственной задачи У. т.: вариационные методы (Ритца, Бубнова – Галёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т. – одна из наиболее актуальных проблем У. т.

  При решении плоских задач У. т. (когда один из компонентов перемещения равен нулю, а два других зависят только от двух координат) широкое применение находят методы теории функций комплексного переменного. Для стержней, пластин и оболочек, часто используемых в технике, найдены приближённые решения многих практически важных задач на основе некоторых упрощающих предположений. Применительно к этим объектам специфический интерес представляют задачи об устойчивости равновесия (см. Устойчивость упругих систем ).

  В задаче термоупругости определяются напряжения и деформации, возникающие вследствие неоднородного распределения температуры. При математической постановке этой задачи в правую часть первых трёх уравнений (1) добавляется член

Большая Советская Энциклопедия (УП) - i-images-115351097.png
, где a – коэффициент линейного теплового расширения, T (x1, x2, x3 ) заданное поле температуры. Аналогичным образом строится теория электромагнитоупругости и упругости подвергаемых облучению тел.

22
{"b":"106324","o":1}