ЛитМир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

  Соч.: CEuvres..., publiées par les soins de m. G. Darboux, t. 1—2, P., 1888—90; Analyse des équations déterminées, pt 1, P., 1831.

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i009-001-206567778.jpg

Ж. Б. Ж. Фурье.

Фурье интеграл

Фурье' интегра'л, формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f (x ) удовлетворяет на каждом конечном отрезке условию Дирихле (см. Фурье ряд ) и если сходится

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-131367436.png
,

то

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-134624519.png
.     (1)

  Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было дано позже другими математиками. Формулу (1) можно представить также в виде

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-187534573.png
,     (2)

где

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-109777700.png
;

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-198071641.png
.

  В частности для чётных функций

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-168944622.png
,

где

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-188375260.png
.

  Формулу (2) можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье для функций, имеющих период 2T , когда Т ® ¥. При этом а (u ) и b (u ) аналогичны коэффициентам Фурье функции f (x ). Употребляя комплексные числа, можно заменить формулу (1) формулой

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-136090984.png
.

  Формулу (1) можно преобразовать также к виду

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-116566360.png
     (3)

(простой интеграл Фурье).

  Если интегралы в формулах (2), (3) расходятся (см. Несобственные интегралы ), то во многих случаях их можно просуммировать к f (x ) при помощи того или иного метода суммирования . При решении многих задач используются формулы Ф. и. для функций двух и большего числа переменных.

  Лит.: Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М. — Л., 1948.

Фурье коэффициенты

Фурье' коэффицие'нты, коэффициенты

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-185234941.png
     (*)

разложения функции f (x) , имеющей период 2T , в ряд Фурье (см. Фурье ряд ). Формулы (*) называют формулами Эйлера — Фурье. Непрерывная функция f (x ) однозначно определяется своими коэффициентами Фурье. Ф. к. интегрируемой функции f (x ) стремятся к нулю при n ® ¥, причём скорость их убывания зависит от дифференциальных свойств функции f (x ). Например, если f (x ) имеет k непрерывных производных, то существует такое число с , что |an | £ c/nk , |bn | £ c/nk . Ф. к. связаны с f (x ) также следующим неравенством:

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-197940574.png

(см. Парсеваля равенство ). Ф. к. функции f (x ) по любой нормированной ортогональной на отрезке [а , b ] системе функций j1 (x ), j2 (x ),..., jn (x ),... (см. Ортогональная система функций ) равны

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-158359001.png
.

Фурье метод

Фурье' ме'тод, метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828. Решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным однородным и краевым условиям, ищется по Ф. м. как суперпозиция решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием собственных функций и собственных значений некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по найденным собственным функциям. В частности, разложение функций в ряды и интегралы Фурье (см. Фурье ряд , Фурье интеграл ) связано с применением Ф. м. для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Например, изучение малых колебаний струны длины l , имеющей закрепленные концы, сводиться к решению уравнения

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-154994624.png
 при краевых условиях u (0, t ) = u (l , t ) = 0 и начальных условиях u (x ,0) = f (x ); u't (x , 0) = F (x ); 0 £ x £ l . Решения этого уравнения, имеющие вид X (x ) T (t ) и удовлетворяющие краевым условиям, выражаются формулой:

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-157594328.png
.

  Выбирая соответствующим образом коэффициенты An и Bn , можно добиться того, что функция

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-139015015.png

будет решением поставленной задачи.

  Ряд важных проблем, связанных с применением Ф. м., был решен В. А. Стекловым .

Фурье преобразование

Фурье' преобразова'ние (данной функции), функция, выражающаяся через данную функцию f (x ) формулой:

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-152081046.png
,     (1)

  Если функция f (x ) чётная, то её ф. п. равно

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-192767726.png
     (2)

(косинус-преобразование), а если f (x ) — нечётная функция, то

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-144660457.png
     (3)

(синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-167179025.png
,     (4)

а для нечётных функций

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-117163993.png
.     (5)

  В общем случае имеет место формула

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-131058745.png
.     (6)

  Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще соответствующей операции над f (x ). Например, Ф. п. f '(x ) является iug (u ). Если

Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - i-images-196928965.png
,     (7)

то g (u ) = g1 (u ) g2 (u ). Для f (x + а ) Ф. п. является eiua g (u ), а для c1 f1 (x ) + c2 f2 (x ) функция c1 g1 (u ) + c2 g2 (u ).

31
{"b":"106339","o":1}