ЛитМир - Электронная Библиотека
A
A

Изучение пирамид, с математической точки зрения, и особенно Великой пирамиды, открывает нам замечательные геометрические свойства, а также и некоторые численные соотношения, заслуживающие внимания. Но главная наша задача заключается в том, чтобы установить, в какой степени строители осознавали эти особенности. В частности, не ими ли, например, определялся выбор угла наклона, приданного пирамиде Хеопса? Или, наоборот, этот угол был избран в результате соображений чисто технического или практического порядка, которые неожиданно натолкнули на форму пирамиды, таящую в себе еще неизвестные свойства? Оба предположения выдвигались в течение многих лет, но, по-видимому, только теперь у нас появились данные, позволяющие решить этот вопрос.

Загадки египетских пирамид - i_043.png

Рис. 41

Многие из геометрических соотношений, о которых идет речь, были известны еще в древности. Так, Геродот, основываясь на рассказах египетских жрецов, сообщает, что соотношение между длиной стороны основания и высотой Великой пирамиды такового, что квадрат, построенный на высоте пирамиды, равен площади каждой из ее сторон. Свойство это выражается равенством: h2 = bx, где h обозначает высоту пирамиды, b — половину стороны ее основания, а x — апофему (рис. 41).

Это свойство может быть выражено так: «В прямоугольном треугольнике, который образован половиной среднего вертикального сечения пирамиды и гипотенуза которого служит одной из апофем, а одна из сторон, прилежащих к прямому углу, является высотой пирамиды, гипотенуза так относится к большему катету, как последний относится к меньшему катету»; т. е. х/h = h/b, откуда h2 = bx (равенство Геродота).

Отношение золотого сечения между плоскостями пирамиды, установленное Клеппишем и приведенное выше, является также непосредственным следствием равенства Геродота. Согласно Клеппишу, площадь основания пирамиды S так относится к сумме площадей ее боковых граней S1, как эта сумма относится к полной поверхности пирамиды St, т. е.

S/Sl = Sl/St

Так как квадрат основания и все треугольники имеют общее основание 2b, то достаточно написать пропорцию между половинами высот, т. е.

b/x = x/(b + x)

откуда b2bx — x2 = 0.

Следовательно, исходя из равенства Геродота h2 = и теоремы Пифагора, дающей для треугольника SHA hxb2 находим то же самое уравнение b2 + bx — x2 = 0, откуда получаем x/b = (1 + √5)/2 = 1,618 = Φ, т. е. отношение золотого сечения, численное значение которого выражается константой Φ = 1,618, известной под названием «золотого числа».

Таким образам мы устанавливаем, что «золотое число» представлено в пирамиде отношением между апофемой и половиной стороны ее основания, что отметил еще Г. Ребер в 1855 г., т. е. выражением намного более простым, чем то, которое указывал Клеппиш. Свойства золотого сечения встречаются в любой пирамиде, имеющей соотношения, приведенные Геродотом. Нам остается лишь доказать, что эти соотношения свойственны Великой пирамиде.

Основные размеры, принятые для Великой пирамиды и исчисленные в египетских царских локтях по 0,524 м каждый (с избытком), составляют 440 локтей для стороны основания и 280 локтей для высоты пирамиды. Это дает в половине ее сечения по апофеме (т. е. в треугольнике SHA) простое отношение h/b=280/220=14/11, которое египтяне, следуя своему методу, выражали через = 22 пальцам или, вернее, b = 5 пальмам + 2 пальца. Принимая за единицу измерения длины 1/11b, мы получаем b = 11, а из формулы h = b√((1+√5)/2), выведенной согласно теореме Пифагора и равенству Геродота, h = 13,992, т. е. 14 с точностью до нескольких тысячных.

С другой стороны, это отношение (14/11) дает сторонам пирамиды угол наклона в 51°50′35″, а отношение, о котором пишет Геродот, — 51°49′42″ с отклонением примерно в 1′. Совершенно очевидно, что поверхность облицовки пирамиды в действительности не была совершенно гладкой. Будучи слегка волнистой, она давала местами значительно большее отклонение, чем указанное минимальное. Следовательно, мы вправе задать себе вопрос: можно ли было с простейшими инструментами египтян достигнуть в подобном случае точности, превышающей четверть или треть нашего градуса, т. е. 15 или 20′? Таким образом, точность значения отношения Геродота, из которого вытекают свойства золотого сечения, очень высока.

Что же касается отношения я, то мы приводим два наиболее часто упоминаемых: «Отношение периметра основания Великой пирамиды к ее удвоенной высоте равно π, и отношение площади ее основания к площади среднего сечения равно π».

Поскольку стороны пирамиды являются треугольниками одинаковой высоты, оба отношения приводятся к одному.

Пусть p — периметр основания. Полагая = 8b, имеем

p/2h = 4b/h.

Если принять для отношения h/b ранее определенное значение 14/11, то получится: p/h = 4×11/14 = 22/7 = 3,1428 — приближенное значение π. Таким образом, b/h = π/4. Кроме того, мы имеем между π и Φ малоизвестное отношение: 0,618 = 1/Φ = (π/4)2 = (3.1416/4)2 = 0,617, т. е. 1/Φ с точностыо до одной тысячной.

С другой стороны,

x/b = Ф, x = Фb и b = x/Ф,
h2 = bx = x2/Φ и x = h√Φ,

откуда h/b = √Φ = 4/π.

А так как h/b = 14/11, то √Φ = 14/11, и следовательно, Φ = 1,619.

Отметим еще, что если бы мы захотели получить точное значение π = 3,1416, то для этого необходимо было бы увеличить угол наклона пирамиды на 40″, т. е. получить 51°51′14″. Угол этот Петри назвал «углом π»276. Здесь также достигнуто совершенно поразительное приближение.

В итоге это можно свести к следующему.

Угол наклона 51°49′42″ соответствует равенству Геродота и отношению золотого сечения.

Угол наклона, равный 51°50′35″, соответствует величине отношения апофемы к половине стороны основания, равной 14/11, и дает π = 3,1416.

Угол наклона, равный 51°50′39″, соответствует величине отношения ребра пирамиды к половине диагонали основания, равной 9/10.

Угол наклона 51°51′14″ дает π = 3,1416.

Мы не будем принимать во внимание последний угол наклона, поскольку значение 3,1416 для π было в ту эпоху неизвестно277. Максимальное расхождение между тремя первыми значениями π составляет около 1′, что значительно меньше средней погрешности, допускаемой при производстве строительных работ. Эти три угла наклона могут, следовательно, рассматриваться как практически совпадающие, а пропорции и отношения, им соответствующие, как равновеликие.

В то же время очевидно, что при сооружении пирамиды для зодчего наиболее существенным представлялся выбор такого угла наклона сторон, который облегчил бы ее постройку и который легко было бы контролировать. Отношение h/b, т. е. отношение высоты к половине основания, определяющее форму пирамиды, должно было быть простым. Именно таким и являлось отношение 14/11, принятое для пирамиды Хеопса. Что касается геометрических свойств, присущих всякой пирамиде, имеющей наклон 14/11, то нам представляется крайне сомнительным, что они могли быть установлены зодчими Хеопса. Во всяком случае о «золотом числе» и отношении π в то время, по всей вероятности, не имелось никаких представлений. С большими оговорками можно еще допустить, что в эпоху Хеопса было известно отношение, упоминаемое Геродотом.

вернуться

276

Что касается угла, принятого Петри за средний после измерений, проведенных им различными методами, то он равнялся 51°52′ и давал для π значение 3,1402.

вернуться

277

Судя по задачам, приведенным в Папирусе Ринд, египтяне эпохи Среднего царства приравнивали площадь круга к площади квадрата, сторона которого равнялась 8/9 диаметра круга, что дает для π приближенное значение 3,1605.

48
{"b":"133682","o":1}