ЛитМир - Электронная Библиотека
A
A

Приведенное нами утверждение - не единственное. Решением задачи могут служить и другие утверждения, например "я считаю, что утверждение "Дракула жив" эквивалентно утверждению, что я человек". Более забавно следующее утверждение: "Я считаю, что если кто-нибудь спросит меня, жив ли Дракула, то я бы ответил утвердительно".

185. Можно. Из утверждений (1) и (2) следовало бы, что Дракулы нет в живых.

Из утверждения (1) можно заключить, что наш трансильванец - человек. Действительно, упырь, находящийся в здравом уме, знал бы, что он в здравом уме, и заявил бы: "Я лишился рассудка". Упырь, лишившийся рассудка, считал бы, что находится в здравом уме, и заявил бы: "Я лишился рассудка". Следовательно, наш трансильванец - человек.

Напомним принцип, установленный в решении задачи 175: если человек заявляет, что считает некоторое утверждение X истинным, то X должно быть истинным (независимо от того, в здравом ли уме этот человек или лишился рассудка). Мы установили, что трансильванец - человек. Он заявил - см. утверждение (2), - что, по его мнению, Дракулы нет в живых. Следовательно, графа Дракулы не должно быть в живых.

186. Из первого утверждения ("я человек") не следует, что трансильванец - человек, а следует, что он должен быть в здравом уме. (Человек, утративший рассудок, не знал бы, что он человек. Упырь, лишившийся рассудка, считал бы себя человеком и, солгав, сказал бы, что он упырь.) Итак, мы знаем, что трансильванец в здравом уме. Докажем, что он человек. Предположим, что он упырь. Тогда не верно, что наш трансильванец человек, а так как из ложного утверждения следует что угодно, то его второе утверждение ("если я человек, то граф Дракула жив") должно бы быть истинно.

Но упырь в здравом уме не может высказывать истинных утверждений, и мы приходим к противоречию. Следовательно, наш трансильванец не может быть упырем и должен быть человеком.

Итак, нам известно, что трансильванец находится в здравом уме и что он человек, поэтому высказываемые им утверждения истинны. Следовательно, его второе утверждение ("если я человек, то граф Дракула жив") должна быть истинно. Он человек. Значит граф Дракула жив.

187. Достаточно спросить трансильванца, в здравом ли он уме. Человек (независимо от того, в здравом ли он уме или лишился рассудка) ответит утвердительно, а упырь отрицательно.

188. Стоит лишь спросить первого встречного, человек ли он, как все станет ясно. Трансильванец, находящийся в здравом уме (будь то человек или упырь), ответит утвердительно, а трансильванец, лишившийся рассудка, отрицательно.

В нескольких следующих задачах я приведу лишь ответ (то есть укажу, какой вопрос следует задать трансильванцу). Вы уже накопили достаточно опыта, чтобы самостоятельно убедиться в правильности предлагаемых решений.

189. Один из вопросов, на который все трансильванцы вынуждены будут ответить утвердительно, звучит так:

"Считаете ли вы себя человеком?" И дело здесь вовсе не в том, что все трансильванцы действительно считают себя людьми (так считают только люди, находящиеся в здравом уме, и упыри, лишившиеся рассудка), но тем не менее все трансильванцы будут утверждать, что считают себя людьми.

Другой вопрос, на который любой трансильванец ответит утвердительно: "Вы надежны?" Все трансильванцы станут уверять, что они надежны.

190. Чтобы установить, жив ли граф Дракула, достаточно задать трансильванцу любой из следующих вопросов:

1) Эквивалентно ли утверждение о том, что вы надежны, утверждению о том, что Дракула жив?

2) Эквивалентно ли, по-вашему, утверждение о том, что вы человек, утверждению о том, что Дракула жив?

191. Достаточно спросить гостя: "Правильно ли ответить "бал" на вопрос, в здравом ли вы уме?" Если гость ответит "бал", то он человек. Если же гость ответит "да", то он упырь.

192. Достаточно спросить гостя: "Правильно ли ответить "бал" на вопрос, человек ли вы?" Если гость ответит "бал", то он в здравом уме. Если же гость ответит "да", то он лишился рассудка.

193. Достаточно спросить гостя: "Считаете ли вы себя человеком?" Слово, которое он произнесет в ответ, должно означать "да". Можно задать и другой вопрос: "Надежны ли вы?"

194. Один из вопросов, дающих решение задачи, звучит так:

"Правильно ли ответить "бал" на вопрос, надежны ли вы?"

(Напомним, что быть надежным означает либо быть человеком, находящимся в здравом уме, либо упырем, лишившимся рассудка.)

Другой вопрос, также дающий решение задачи: "Надежны ли вы в том и только в том случае, если "бал" означает "да"?"

Любой из этих вопросов заставит гостей ответить "бал".

Доказать это можно так же, как в решении задачи 161 из гл.

11 (единственное различие состоит в том, что вместо "человек" везде следует взять "надежный человек").

195. Любой из следующих вопросов позволит выяснить, жив ли граф Дракула.

1) Считаете ли вы, что "бал" - правильный ответ на вопрос, эквивалентно ли утверждение о том, что вы человек, утверждению "Дракула жив"?

2) Правильно ли ответить "бал" на вопрос, эквивалентно ли утверждение о том, что вы надежны, утверждению "Дракула жив"?

Единый принцип, суть которого разъяснена в решении задачи 196, позволяет дать гораздо более простое и изящное решение.

196. Единый принцип. Условимся называть представителя элиты трансильванского общества аристократом типа 1, если на вопрос "дважды два - -- четыре?" он отвечает "бал".

Разумеется, на любой другой вопрос с правильным ответом "да" трансильванский аристократ типа 1 ответит "бал".

Условимся называть представителя трансильванской элиты аристократом типа 2, если он не типа 1. Это означает, что если X - любое истинное высказывание (например, "дважды два - четыре") и вы спрашиваете аристократа типа 2, истинно ли X, то он ответит "да" (не путать с "нашим"

привычным "да"!).

Сразу же ясно, что если "бал" означает "да", то аристократы типа 1 надежны, а аристократы типа 2 ненадежны.

Если же бал" означает "нет", то картина обратная (аристократы типа 1 ненадежны, а аристократы типа 2 надежны).

Единый принцип конструирования вопросов заключается в следующем. Чтобы выяснить, истинно ли любое утверждение X, достаточно спросить у любого трансильванского аристократа, эквивалентно ли утверждение о том, что он аристократ типа 1, утверждению X. Вопрос можно задать, например, так:

"Истинно ли X в том и только в том случае, если вы аристократ типа 1?" Докажем, что если на такой вопрос последует ответ: "бал", то X должно быть истинно, а если "да", то X должно быть ложно. Следовательно, "волшебное" утверждение S - это просто-напросто утверждение "вы аристократ типа 1" (или "на вопрос "дважды два - четыре?" вы ответите "бал").

Доказательство. Пусть S - утверждение "вы аристократ типа 1", X утверждение, истинность или ложность которого требуется установить. Вы задаете вопрос:

"Эквивалентно ли S утверждению X?" Предположим, что вам отвечают "нет". Требуется доказать, что X должно быть истинно.

Случай 1: "бал" означает "да". B этом случае нам известны два факта: 1) аристократ типа 1 надежен; 2) наш собеседник, говорящий "бал", утверждает, что S эквивалентно X.

Подслучай 1а: аристократ типа 1. Он надежен и высказывает истинные утверждения. Следовательно, S действительно эквивалентно X. Но S истинно (так как аристократ относится к типу 1). Значит, X истинно.

Подслучай 1б: аристократ типа 2. Он ненадежен и высказывает ложные утверждения. Так как он утверждает, что S эквивалентно X, то в действительности S не эквивалентно X.

Но S ложно (так как аристократ не принадлежит к типу 1), а X не эквивалентно S. Следовательно, X истинно.

Случай 2: "бал" означает "нет". B этом случае нам известны два факта: 1) аристократ типа 1 ненадежен; 2) наш собеседник, говорящий "бал", утверждает, что S не эквивалентно X.

Подслучай 2а: аристократ типа 1. Он ненадежен и высказывает ложные утверждения. По его словам (не соответствующим действительности), S не эквивалентно X. Значит, на самом деле S эквивалентно X, а так как S истинно, то X истинно.

36
{"b":"40776","o":1}