ЛитМир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

+

𝐴

2

𝑟

3𝑛

cos 3𝑛θ sin 3𝑞𝑡

+

𝐴

3

𝑟

3𝑛

cos 3𝑛θ sin 𝑞𝑡

+

+

𝐴

4

𝑟

𝑛

cos 𝑛θ sin 3𝑞𝑡

,

(73)

если

𝑞²

=

𝑇

𝑎³ρ

(𝑛³-𝑛)

1-

𝐴²

𝑎

2𝑛-4

𝑛²(𝑛²-1)(34𝑛³-33𝑛²+50𝑛-18)

16𝑞³(2𝑛²+1)(2𝑛-1)

.

(74)

Продолжая вычисления таким же образом, как и во втором приближении, получаем

ζ=𝐴

𝑛

𝑞

𝑎

𝑛-1

1-

𝐴²

𝑛²

𝑞²

𝑎

2𝑛-4

(𝑛²-1)(28𝑛³-42𝑛²+35𝑛-6)

32(2𝑛²+1)(2𝑛-1)

×

×

cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡

+

+

𝐵

1

cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡

+

𝐵

2

cos 2𝑛θ

+

𝐵

3

cos 2𝑞𝑡

+

𝐵

4

+

+

𝐵

5

cos 3𝑛θ cos 3𝑞𝑡

+

𝐵

6

cos 3𝑛θ cos 𝑞𝑡

+

𝐵

7

cos 𝑛θ cos 3𝑞𝑡

,

(75)

где коэффициенты 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3 и 𝐵4 - те же, что и во втором приближении, а 𝐵5, 𝐵6 и 𝐵7 — величины порядка 𝐴³.

Полагая коэффициент при cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡 в формуле (75) равным 𝑏, находим в результате всех вычислений, что уравнение поверхности цилиндра из жидкости, совершающего чисто периодические двумерные колебания, имеет вид

𝑟=𝑎+𝑏

cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡

+

𝑏²

𝑎

-

2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4

8(2𝑛²+1)

cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡

+

+

𝑛²+2𝑛-2

8(2𝑛-1)

cos 2𝑛θ

-

1

8

cos 2𝑞𝑡

-

1

8

+

𝑏³

𝑎²

(…)+…

,

(76)

где

𝑞²

=

𝑇

ρ𝑎³

(𝑛³-𝑛)

1-

𝑏²

𝑎²

(𝑛²-1)(34𝑛³-33𝑛²+50𝑛-18)

16(2𝑛²+1)(2𝑛-1)

+

+

𝑏4

𝑎4

(…)+…

.

В экспериментах струя обычно совершает стационарные колебания в трёх измерениях, так что сечение струи не одинаково во всех точках. Если, однако, скорость струи 𝑐 столь велика, что длина волны λ велика по сравнению с диаметром струи, то в каждом сечении движение будет очень мало отличаться от движения в двумерном случае, и тогда можно считать, что форма поверхности струи описывается уравнением (76).

Полное решение в трёхмерном случае можно записать в виде

𝑟=𝑎+𝑏

cos 𝑛θ cos 𝑘𝑧

+

+

𝑁

1

𝑏²

𝑎

1+α

1,1

𝑎

λ

⎫2

1+α

1,2

𝑎

λ

⎫4

+…

cos 2𝑛θ cos 2𝑘𝑧

+

+

𝑁

2

𝑏²

𝑎

1+α

2,1

𝑎

λ

⎫2

+…

cos 2𝑛θ

+…

и

𝑘²

=

1

𝑐²

𝑇

ρ𝑎³

(𝑛³-𝑛)

1+β

1

𝑎

λ

⎫2

2

𝑎

λ

⎫4

+…

×

×

1+

𝑀

1

𝑏²

𝑎²

1+γ

1

𝑎

λ

⎫2

+…

+

𝑀

2

𝑏4

𝑎4

(1+…)+…

,

где константы 𝑁1, 𝑁2, … и 𝑀1, 𝑀2, … равны соответствующим константам в уравнении (76) при подстановке в него 𝑡=𝑧/𝑐, и 𝑞=2πλ/𝑐=𝑘/𝑐.

Пренебрегая поправками более высокого порядка по 𝑏/𝑎, пользуясь формулой Рэлея для длины волны бесконечно малых трёхмерных колебаний [см. соотношение (36)] и полагая для простоты 𝑛=2 (что соответствует проведенным экспериментам), получаем

𝑟=𝑎+𝑏

cos 2θ cos 𝑘𝑧

+

𝑏²

6𝑎

cos 4θ cos 4𝑘𝑧

+

𝑏²

4𝑎

cos 4θ

-

-

𝑏²

8𝑎

cos 2𝑘𝑧

-

𝑏²

8𝑎

(77)

и

𝑘²

=

𝑇𝑖𝑘𝑎

𝐽

'

2

(𝑖𝑘𝑎)

ρ𝑐²𝑎³ 𝐽

 

2 (𝑖𝑘𝑎)

(3+𝑎²𝑘²)

1-

𝑙²

𝑘²

37

24

.

(78)

Формула (78) даёт искомую поправку к длине волны.

Из уравнения (77) можно сделать ещё некоторые заключения. Полагая 𝑧=0, получаем

𝑟=𝑎-

𝑏²

4𝑎

+𝑏 cos 2θ+

5

12

𝑏²

𝑎

cos 4θ+… .

(79)

Такой вид должно иметь уравнение границы отверстия, из которого вытекает струя, чтобы колебания были чисто периодическими (предполагается, что скорость в каждой точке сечения струи у отверстия одна и та же по величине и направлению). Отсюда видна ошибочность точки зрения П. О. Педерсена, согласно которой струя, вытекающая из отверстия с уравнением границы 𝑟=α+β cos 2θ, должна совершать колебания более близкие к чисто периодическим, чем струя из эллиптического отверстия (𝑟=α+β cos 2θ + 3/4⋅β²/α cos 4θ…).

Полагая θ=0, имеем

𝑟=𝑎

+

𝑏²

8𝑎

+𝑏 cos 𝑘𝑧

+

1

24

10
{"b":"569101","o":1}