ЛитМир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

𝐽

𝑛

(𝑥)

(2π𝑥)

[

𝑃

𝑛

(𝑥)

+

𝑖𝑄

𝑛

(𝑥)

]

exp 𝑖

𝑥-

2𝑛+1

4

π

[

𝑃

𝑛

(𝑥)

-

𝑖𝑄

𝑛

(𝑥)

]

exp -𝑖

𝑥-

2𝑛+1

4

π

(30)

где

𝑃

𝑛

(𝑥)

=

1-

(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)

2!(8𝑥)²

+

(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)(4𝑛²-5²)(4𝑛²-7²)

4!(8𝑥)4

-…

и

𝑄

𝑛

(𝑥)

=

4𝑛²-1²

1!8𝑥

-

(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)(4𝑛²-5²)

3!(8𝑥)3

+…

Если в формуле (30), справедливой при положительной вещественной части 𝑥, взять несколько членов, то она будет давать очень хорошее приближение для 𝐽𝑛(𝑥) при больших 𝑥. При использовании формулы (30) 𝑥 можно записать в виде 𝑎-𝑖𝑏, где 𝑎 и 𝑏 — большие положительные числа. При этом член с 𝑒𝑖𝑥 будет преобладающим; пренебрегая членом с 𝑒-𝑖𝑥, имеем

𝐽

'

𝑛

(𝑥)

=

𝑖𝐽

𝑛

(𝑥)

1+

𝑖

2𝑥

-

4𝑛²-1

8𝑥²

+

𝑖(4𝑛²-1)

8𝑥³

-…

и, согласно (19),

𝐽

''

𝑛

(𝑥)

=

-𝐽

𝑛

(𝑥)

1+

𝑖

𝑥

-

2𝑛²-1

2𝑥²

-

𝑖(4𝑛²-1)

8𝑥³

-…

.

Исходя из сказанного, мы в дальнейших расчётах положим

𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

=

𝑖𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

1+

1

2𝑎𝑑

+

4𝑛²-1

8𝑎²𝑑

и

𝐽

''

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

=

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

1+

1

𝑎𝑑

+

2𝑛²+1

2𝑎²𝑑²

(31)

Теперь из соотношений (27) с помощью (29) и (31) мы получаем

𝐴

1

𝑐ρ

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

2𝑛(𝑛-1)

𝑎²𝑏

1+

𝑎²𝑏²

2(𝑛-1)(𝑛+1)

+

+

𝐵𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

2𝑛𝑏

𝑎𝑑

1+

3

2𝑎𝑑

+

4𝑛²-1

8𝑎²𝑑²

-

-

𝐶

𝑛

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

𝑖𝑑²

𝑛

1+

2

𝑎𝑑

+

2𝑛²+1

𝑎²𝑑²

=0

(32)

и

𝐴

1

𝑐ρ

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

2𝑛

𝑎

1+

𝑎²𝑏²

2𝑛(𝑛+1)

+

+

𝐵𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

𝑑

1+

1

2𝑎𝑑

+

4𝑛²-1

8𝑎²𝑑²

-

𝐶𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

𝑖𝑏

𝑎

=0.

(33)

Из соотношений (32) и (33) находим

𝐵𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

𝐴

1

𝑐ρ

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

2𝑛

𝑎𝑑

1+

𝑎²𝑏²

2𝑛(𝑛+1)

1-

1

2𝑎𝑑

-

12𝑛²-8𝑛-3

8𝑎²𝑑²

и

𝐶𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

𝐴

1

𝑐ρ

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

𝑖2𝑛²(𝑛-1)

𝑎²𝑑²𝑏

1+

𝑎²𝑏²

2(𝑛²-1)

1-

2

𝑎𝑑

-

2𝑛²-3

𝑎²𝑑²

.

(34)

Формула (26) с учётом равенств (12), (21), (29), (31), (34) и (13) теперь даёт

𝑏²-𝑖𝑏

μ

ρ

4𝑛(𝑛-1)

𝑎²𝑐

1+

𝑎²𝑏²

𝑛(𝑛-1)

1+

𝑛-1

𝑎𝑑

+

(𝑛-1)(2𝑛-3)

2𝑎²𝑑²

-

-𝑇

𝑖𝑏𝑎 𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

𝑝𝑐²𝑎³ 𝐽

𝑛 (𝑖𝑎𝑏)

(𝑛²-1+𝑎²𝑏²)=0.

(35)

Полагая в формуле (35) μ=0, получаем решение Рэлея

𝑏

2

0

=

𝑖𝑏𝑎 𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑎𝑏

0

)

𝑝𝑐²𝑎³ 𝐽

𝑛 (𝑖𝑎𝑏0)

(𝑛²-1+𝑎²𝑏

2

0

)=

=

𝑏(𝑛³-𝑛)

𝑝𝑐²𝑎³

1+

(3𝑛-1)𝑎

2

𝑏

2

0

2𝑛(𝑛

2

  -1)

+

3(𝑛+3)𝑎

4

𝑏

4

0

8𝑛(𝑛-1)(𝑛+1)

2

  (𝑛+2)

+…

.

(36)

Положительный корень этого уравнения мы в дальнейшем будем обозначать через 𝑘0.

5
{"b":"569101","o":1}