ЛитМир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

Из соотношений (35) и (36) в используемом приближении получаем

𝑏²-𝑖𝑏

μ

ρ

4𝑛(𝑛-1)

𝑎²𝑐

1+

(5𝑛+1)𝑎²𝑘

2

0

2𝑛(𝑛

2

  -1)

1+

𝑛-1

𝑎𝑑

+

(𝑛-1)(2𝑛-3)

2𝑎²𝑑²

-

-𝑘

2

0

=0.

(37)

В пределах точности того же приближения можно подставить в (37), имея в виду (13),

𝑖𝑎𝑑

=

𝑖𝑎

𝑖𝑘

 

0

𝑐ρ

μ

⎫½

=

(1-𝑖)

𝑎²𝑘0𝑐ρ

μ

⎫½

,

где выбор знака определяется тем, чтобы вещественная часть 𝑖𝑎𝑑 была положительной [см. соотношение (30)]. При этом равенство (37) принимает вид

𝑏²-𝑖𝑏

μ

ρ

4𝑛(𝑛-1)

𝑎²𝑐

1+

(5𝑛+1)𝑎²𝑘

2

0

2𝑛(𝑛

2

  -1)

1-(1-𝑖)

𝑛-1

2

ρ𝑐𝑎²𝑘0

⎫½

-

-𝑖

(𝑛-1)(2𝑛-3)

4

ρ𝑐𝑎²𝑘0

-𝑘

2

0

=0.

(38)

Решая равенство (38) относительно 𝑏, получаем, полагая 𝑏=𝑘+𝑖ε,

𝑘=𝑘

0

1-

𝑛(𝑛-1)²

2

ρ𝑐𝑎²𝑘0

3/2

-

3𝑛(𝑛-1)²

4

ρ𝑐𝑎²𝑘0

⎫²

(39)

и

ε=

μ

ρ

2𝑛(𝑛-1)

𝑎²𝑐

1+

(5𝑛+1)𝑎²𝑘

2

0

2𝑛(𝑛

2

  -1)

1-

𝑛-1

2

ρ𝑐𝑎²𝑘20

⎫½

.

(40)

Все использовавшиеся уравнения были линейными, так что физический смысл проделанного расчёта состоит в доказательстве существования движения потока жидкости с поверхностью, описываемой уравнением

𝑟=𝑎+𝑏𝑒

-ε𝑧

cos 𝑘𝑧 sin 𝑛θ,

где 𝑘 и ε определяются формулами (39) и (40).

Поправка на вязкость, которую следует ввести в силу поверхностного натяжения, может быть получена из формул (36) и (39); имеем

𝑇

=

𝑘²

ρ𝑐²𝑎³ 𝐽

 

𝑛 (𝑖𝑎𝑘)

𝑖𝑎𝑘 𝐽

'

𝑛 (𝑖𝑎𝑘) (𝑛²-1+𝑎²𝑘²)

1+𝑛(𝑛-1)²

ρ𝑐𝑎²𝑘

3/2

+

+

3𝑛(𝑛-1)²

2

ρ𝑐𝑎²𝑘

⎫²

.

(41)

УЧЁТ ВЛИЯНИЯ КОНЕЧНОСТИ АМПЛИТУДЫ

Теперь мы вычислим поправку к длине волны, связанную с конечной величиной амплитуды волны. Мы используем приближённый метод, который в принципе был указан Стоксом 1.

1 G. G. Stokes. Camb. Trans., 1847, VIII, 441.

Последующий расчёт будет относиться к двумерным колебаниям цилиндрического потока жидкости без вязкости. Для трёхмерного случая задача может быть решена аналогичным способом, но расчёты при этом становятся весьма трудоёмкими и вряд ли имеют практическое значение с точки зрения целей настоящего исследования. Если ограничиться рассмотрением струй, диаметр которых мал по сравнению с длиной волны, то движение будет очень незначительно отличаться от двумерного, так что малая поправка к длине волны вследствие конечной величины амплитуды может считаться одинаковой в обоих случаях.

При решении задачи будет предполагаться существование потенциала скорости Φ. Используя полярные координаты и обозначая через α и β соответственно радиальную и тангенциальную составляющие скорости, имеем

α= -

∂Φ

∂𝑟

,

β= -

1

𝑟

∂Φ

∂θ

.

Считая жидкость несжимаемой, получаем

∂α

∂𝑟

+

α

𝑟

+

1

𝑟

∂β

∂θ

= -

∂²Φ

∂𝑟²

+

1

𝑟

∂Φ

∂𝑟

+

1

𝑟²

∂²Φ

∂θ²

=0.

(42)

Решение уравнения (42), удовлетворяющее условию конечности скорости при 𝑟=0, может быть записано в виде

Φ=

∑∑

𝐴

𝑛,𝑞

𝑟

𝑛

cos(𝑛θ+τ

𝑛

)

sin(𝑞𝑡+ε

𝑞

),

(43)

где 𝑛 — положительные целые числа.

Уравнение поверхности жидкости запишем в виде

6
{"b":"569101","o":1}