ЛитМир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

𝑟=𝑎+ζ, ζ=ψ(θ,𝑡).

Условия на поверхности в указанных обозначениях имеют вид

𝐷

𝐷𝑡

(𝑎-ζ-𝑟)

=

∂𝑡

∂𝑟

+

β

𝑟

∂θ

(𝑎-ζ-𝑟)

 и

𝑝-

𝑇

𝑅

=0,

(44)

где 𝑅 — радиус кривизны поверхности.

Из равенства (44) находим

∂ζ

∂𝑡

-

1

𝑟²

∂Φ

∂θ

∂ζ

∂θ

+

∂Φ

∂𝑟

𝑟=𝑎+ζ

=0

(45)

и

ρ

∂Φ

∂𝑡

-

1

2

∂Φ

∂𝑟

⎫²

+

1

𝑟²

∂Φ

∂θ

⎫²

𝑟=𝑎+ζ

-𝑇

(𝑎+ζ)²+2

∂ζ

∂θ

⎫²

-

-

(𝑎+ζ)

∂²ζ

∂θ²

(𝑎+ζ)²

+

∂ζ

∂θ

⎫²

⎤-3/2

+

𝐹(𝑡)

=0.

(46)

Рассматривая малые колебания поверхности около положения равновесия 𝑟=𝑎, будем считать ζ малой величиной первого порядка. Из соотношений (43), (45) и (46) видно, что при этом Φ должно быть величиной также первого порядка малости, если 𝐹(𝑡) определено таким образом, что Φ не содержит членов, не зависящих от 𝑟 или θ.

Из соотношений (45) и (46) получаем с помощью теоремы Тэйлора

∂ζ

∂𝑡

+

1+ζ

∂𝑟

+

ζ²

2

∂²

∂𝑟²

+…

∂Φ

∂𝑟

-

1

𝑟²

∂Φ

∂θ

∂ζ

∂θ

⎦𝑟=𝑎

=0

(47)

и

ρ

1+ζ

∂𝑟

+

ζ²

2

∂²

∂𝑟²

+…

∂Φ

∂𝑡

-

1

2

∂Φ

∂𝑟

⎫²

-

1

2𝑟²

∂Φ

∂θ

⎫²

⎭𝑟=𝑎

-

-𝑇

(𝑎+ζ)²+2

∂ζ

∂θ

⎫²

-

(𝑎+ζ)

∂²ζ

∂θ²

(𝑎+ζ)²

+

∂ζ

∂θ

⎫²

⎤-3/2

+

𝐹(𝑡)

=0.

(48)

Из уравнений (43), (47) и (48) ζ может быть найдено с точностью до константы, которую можно определить из условия

0

𝑎+ζ

0

𝑟𝑑𝑟𝑑θ

=

0

1

2

(𝑎+ζ)²𝑑θ

=

π𝑎².

(49)

ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Найдём решение задачи, пренебрегая всеми членами выше первого порядка малости. Из соотношений (47) и (48) имеем

∂ζ

∂𝑡

+

∂Φ

∂𝑟

⎦𝑟=𝑎

=0

(50)

и

ρ

∂Φ

∂𝑡

⎦𝑟=𝑎

-𝑇

1

𝑎

+

ζ

𝑎²

-

1

𝑎²

∂²ζ

∂θ²

+

𝐹(𝑡)

=0.

(51)

Исключая ζ из равенств (50) и (51), получаем

ρ

∂²Φ

∂𝑡²

-

𝑇

𝑎²

∂Φ

∂𝑟

+

∂²Φ

∂𝑟∂²θ

⎦𝑟=𝑎

+

𝐹'(𝑡)

=0.

(52)

Если 𝐹'(𝑡)=0, то уравнению (52) удовлетворяет функция

Φ=𝐴𝑟

𝑛

cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡,

 где

𝑞²

=

𝑇

ρ𝑎³

(𝑛³-𝑛)

(53)

Подставляя это выражение в равенство (50), находим

∂ζ

∂𝑡

=-

𝑛𝑎

𝑛-1

𝐴 cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡,

ζ=

𝑛

𝑞

𝑎

𝑛-1

𝐴 cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡+ƒ(θ)

.

(54)

Уравнение (51) при подстановке выражений из (53) и (54) даёт соотношение

7
{"b":"569101","o":1}