ЛитМир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

ν=

2𝑒3𝑚

3

𝑛

2

.

Значение скорости обращения, диаметра орбиты и энергии 𝑊 равны соответственно

𝑉=

2π𝑒2

𝑛, 𝑑

2

2𝑒2𝑚

1

𝑛

 и 𝑊=

2𝑒4𝑚

2

𝑛

2

.

2 N. Bohr. Phil. Mag., 1913, 26, 476 (статья 5, ч. II).

Рассмотрение этих выражений показывает, что принятые выше при вычислениях предположения выполняются тем лучше, чем меньше число электронов 𝑛 в атоме. Подставляя численные значения 𝑒, 𝑚 и ℎ, мы видим, что в случае α-частиц (𝑉 = 2⋅109 см/сек, 𝐸 = 2𝑒, 𝑀 = 104𝑚) эти условия выполняются при 𝑛 < 10, а в случае β-частиц (𝑉 = 2⋅1010 см/сек, 𝐸 = 𝑒, 𝑀 = 𝑚) — при 𝑛 < 100. В соответствии с теорией Резерфорда число электронов в атоме примерно равно половине атомного веса (если атомный вес водорода принять за единицу). Поэтому, если справедливы главные предположения относительно механизма передачи энергии от α-или β-частиц к электронам, мы должны ожидать, что формула (5) будет удовлетворяться для поглощения α-лучей в самых лёгких элементах, а в случае β-лучей — также и для поглощения в более тяжелых элементах. Однако в случае β-лучей надо помнить, что формула (1) была выведена в предположении о том, что 𝑉 мало в сравнении со скоростью света. Мы вернёмся к этому вопросу в § 3, где рассмотрена вероятность разброса потерь энергии, испытываемых отдельными частицами.

§ 2. Распределение вероятности потерь энергии, испытываемых отдельными α- или β-частицами

Вопросы, обсуждаемые в этом параграфе, непосредственно связаны с вероятностью обнаружения данного числа частиц в заданный момент времени в небольшой ограниченной части большого объёма, в котором частицы распределены беспорядочно. Эта проблема была рассмотрена М. Смолуховским 1 который показал, что вероятность обнаружения 𝑛 частиц даётся формулой

𝑊(𝑛)

=

ω𝑛

𝑛!

𝑒

,

(6)

где 𝑒 — основание натуральных логарифмов, а ω — среднее значение числа частиц в рассматриваемой части объёма. Если о очень велико, то это распределение вероятности с большой точностью может быть представлено формулой

𝑊(𝑠)𝑑𝑠

=

ω

⎫½

𝑒

-½ω𝑠²

𝑑𝑠

,

(7)

где 𝑠 определяется из соотношения 𝑛 = ω(1+𝑠), а 𝑊(𝑠)𝑑𝑠 обозначает вероятность того, что значение 𝑠 находится между 𝑠 и 𝑠+𝑑𝑠.

1 М. v. Smoluchowski. Boltzmann-Festschrift, 1904, S. 626; см. также: Н. Batemаn. Phil. Mag., 1911, 21, 746.

В указанной выше работе Герцфельд использовал формулу (7) для вычисления распределения вероятности того, что α-частица с данной начальной скоростью проникнет в газ на расстояние 𝑅 до своей остановки. Герцфельд сделал простое предположение о том, что для остановки частицы необходимо определённое число 𝐴 столкновений с молекулами газа. Это число он принимал равным полному числу ионов, образованных данной частицей в газе. Число столкновений, испытываемых α-частицей при проникновении её в газ на данное расстояние, равно числу молекул, находящихся в цилиндрическом объёме, осью которого является траектория частицы. Распределение вероятности числа столкновений может быть получено из приведённых выше формул, если под ω подразумевать среднее число столкновений. Поскольку предполагается, что 𝐴 очень велико, разброс значений 𝑅 для отдельных частиц будет очень малым. Поэтому вероятность того, что значение 𝑅 заключено между 𝑅0(1+𝑠) и 𝑅0(1+𝑠+𝑑𝑠), где 𝑅0 — средняя величина пробега, в предположениях Герцфельда будет даваться просто формулой (7), в которой следует подставить ω = 𝐴. В рассматриваемой здесь теории такой расчёт не может быть проведён очень просто. Общее число столкновений не считается строго фиксированным, но предполагается, что энергия, теряемая α-или β-частицей при столкновениях с электронами, зависит от расстояния электронов до траектории частицы, непрерывно уменьшаясь с увеличением этого расстояния. Поэтому для того, чтобы наше рассмотрение было аналогично рассмотрению Герцфельда, необходимо разбить столкновения на отдельные группы, в каждой из которой величина потерь энергии частиц была бы примерно одинаковой.

Рассмотрим α- или β-частицу, проникшую в слой вещества толщиной Δ𝑥; разобьем все столкновения частицы с электронами на группы таким образом, чтобы в 𝑟-й группе расстояние 𝑝 лежало бы в пределах от 𝑝𝑟 до 𝑝𝑟+1.

Предположим теперь, что подобным образом можно разбить столкновения на такие группы, что число столкновений в каждой группе велико, а потери энергии 𝑄 при соударениях в пределах данной группы мало отличаются друг от друга. Пусть величина 𝑄, соответствующая 𝑟-й группе, будет равна 𝑄𝑟. Пусть, далее, среднее число столкновений в этой группе равно 𝐴𝑟; действительное же число таких столкновений, испытываемых данной α- или β-частицей, равно 𝐴𝑟(1+𝑠𝑟). Полная потеря энергии частицей при прохождении через рассматриваемый слой даётся формулой

Δ𝑇

=

𝑄

𝑟

𝐴

𝑟

(1+𝑠

𝑟

)

.

Отсюда, обозначая среднее значение Δ𝑇 через Δ0𝑇, получаем

Δ𝑇

-

Δ

0

𝑇

=

𝑄

𝑟

𝐴

𝑟

𝑠

𝑟

.

Так как величины 𝐴 велики, из формулы (7) мы получаем для вероятности того, что величина 𝑠𝑟 лежит в пределах от 𝑠𝑟 до 𝑠𝑟 + 𝑑𝑠𝑟,

𝑊(𝑠

𝑟

)

𝑑𝑠

𝑟

=

𝐴𝑟

⎫½

𝑒

½𝐴𝑟𝑠𝑟²

𝑑𝑠

𝑟

.

Подобным же образом, обозначая через 𝑊(𝑇) 𝑑𝑇 вероятность того, что величина Δ𝑇 лежит в пределах от Δ𝑇 до Δ𝑇 + 𝑑𝑇, с помощью основной теоремы теории вероятностей получаем

𝑊(Δ𝑇) 𝑑𝑇

=

(2π𝑃

Δ

𝑥)

exp

-

(Δ𝑇-Δ0𝑇)²

2𝑃Δ𝑥

𝑑𝑇

,

(8)

где

𝑃Δ𝑥

=

1

𝐴𝑟

(𝑄

𝑟

𝐴

𝑟

=

𝑄

𝑟

𝐴

𝑟

²

.

При рассмотренных выше предположениях это может быть просто записано в виде

𝑃Δ𝑥

=

𝑄²

𝑑𝐴

.

Подставляя в это выражение значения 𝑄 и 𝑑𝐴 из формул (1) и (3) и интегрируя по 𝑝 для каждого вида электронов в пределах от 0 до 𝑝ν, получаем:

𝑃

=

74
{"b":"569101","o":1}